Jacobianの意味-エセ微分幾何入門

この間ゼミで話題になっていたことについて。
後でブログで説明して、といわれていたので笑。

Q.なんでn重積分において変数変換するとJacobianがついてくるんですか？

ざっくりとした解答
たとえばEuclidで取ったとしよう。
そのとき、dx*dy*...という超立方体が何個勘定する体積の中に入っていますか、ということをカウントしている。

で、変数変換をすると、基底座標が変わるわけですよね。
dx'*dy'*...と、新たな座標での単位超立体の数を勘定するわけです。
でも、これは、もとより大きくなったり小さくなったりしていて、数を勘定するだけだと、数字が合いません。

しょうがないので、変数変換につかった行列の拡大率、すなわちdetをかけておく。

これがjacobianの意味合いです。

僕はこれで満足してしまうタイプなんですが笑。
（こういう人は数学を専攻してはいけません）

さて、もっと数学的に話すには。
（とはいいつつ、数学的厳密なものは追及しません笑）
ちょっと天下り的に微分幾何を導入しましょう。

ちなみに多変数関数の微積分は、僕は微分幾何から習ったのですが、
これやるとマジで腕力つかないので、普通にゴリゴリお算数だけでいろんな定理を証明する
ベクトル解析から勉強するのが吉です。

ベクトル解析入門/東京大学出版会
がお算数ゴリゴリで多重積分までやってくれるのでお勧め。
数学の本らしからぬ構成で、大学受験の参考書っぽい笑。

多様体といういろんな座標系を導入してもだいじょーぶ！なものにおける微積分のお話をします。

天下り的に、wedgeというのを導入します。∧で書きます。
この∧はexterior productの性質を満たして、
dx∧dy = -dy∧dx
(a*dx+b*dy)∧dz = a*dx∧dz + b*dy∧dz
dx∧dx = 0
もっと明確なdefinitionを与えてもいいのですが、話にはこれくらいで困らないです。

さて、微分形式というのを導入します。

微分形式ωは
ω＝Σｆdx_i1 ∧dx_i2 ∧...
で定義します。

今ここでxという座標系をyという座標系に変換します。
dy_i = Σ　∂y_i/∂x_j *dx_j　 (jについてのsum）
と書けるのはなんとなく感覚的にわかるでしょう。
dy_iという微分は、各x_j方向のy_iの傾きに各x_jを足していったものと一致します。

多様体上の積分は実はこう定義します。M上で積分するとき、
∫　ω on M、と。

ではでは。gという写像でxからyへ移して変数変換したとすると、

∫g○f(x)Σ　∂y_i(σ1)/∂x_j *dx_j∧∂y_i(σ2)/∂x_j *dx_j…　on g(M)

これでがちゃがちゃ入れ替えて、dx1∧dx2...という形にすると、
(Σε（σ）∂y_1/∂x_j(σ1) * ∂y_2/∂x_j(σ2) *...)*dx1∧dx2∧...
（ただしε（σ）は置換の符号）
ってなります。これは確かに∂（y1,y2...）/∂（x1, x2...）という形でかけますよね。
（a_ij成分が∂y_i/∂x_jとなる行列の行列式になる、ということ。）
行列式の定義に戻れば当たり前の話です。

このようにして、これはJacobianでした、ということです。

もとと比較して∫f(x)dx1∧dx2∧...
となっているので、Jacobianがかかっている様子がわかります。

二次元で様子を見ると、
A=(a,b) a=(a, b) b= (c,d)でxからyへ移したとすると
y1=ax1 + bx2
y2=cx1 + dx2

∂y1/∂x1=a
...

となっていって、結局のところ、Aと同じ行列が出てきて（あたりまえですが）
detAをとればよいことになります。

もっとざっくりと言ってしまえば、
dy1 = adx1 + bdx2
dy2 = cdx1 + ddx2
になって、

∫f(y)dy1∧dy2 on M'
=∫f(Ax)(adx1 + bdx2)∧（cdx1 + ddx2）　on A(M)

となって、計算するとヤコビアンが出てきます。

ちなみにこれの詳しいことは
多様体の基礎/松本幸夫（東京大学出版会）
線型代数入門/斎藤正彦（東京大学出版会）
を見てください。